【概念】每个程序员都应该知道的基础数论

Mon, 16 Oct 2017 20:05:21 +0800

这篇文章讨论了数论中每个程序员都应该知道的几个重要概念。本文的内容既不是对数论的入门介绍，也不是针对数论中任何特定算法的讨论，而只是想要做为数论的一篇参考。如果读者想要获取关于数论的更多细节，文中也提供了一些外部的参考文献(大多数来自于 Wikipedia 和 Wolfram )。

每个程序员都应该知道的基础数论

0. 皮亚诺公理

整个算术规则都是建立在 5 个基本公理基础之上的，这 5 个基本公理被称为皮亚诺公理。皮亚诺公理定义了自然数所具有的特性，具体如下：

0是自然数;

每个自然数都有一个后续自然数;

0不是任何自然数的后续自然数;

不同自然数的后续自然数不同;

如果集合S包含了数字0，并且包含S中每一个数字的后续自然数，那么集合S就包含了所有的自然数。

上述第5个公理也被称为“数学归纳法的基础”。

通常，除了我们想要证明其他算术定理的情况，我们很少直接使用上述公理。但作为算术的基石，这些公理是值得我们去了解的。

1. 算术基本定理和除法运算法则

正如这个定理的名称所言，算术基本定理是数论中所有概念的核心。算术基本定理含义如下：任何一个大于1的整数都可以以某种特定的方式写成质数的乘积的形式(这种特定方式取决于乘积中质数的顺序)。例如，18 = 2 * 9, 1755 = 33 *5 * 13. 这个定理在几乎所有的数论运算法则中都扮演着十分重要的角色，例如求一个数的质数因子、最大公约数、除数的和等等。想要证明这个定理其实很简单，实际上它是欧几里得第一个定理的一个推论(下面小节会讨论到)。

除法运算法则含义是说：给定两个整数a，b(b不等于0)，那么存在两个整数q和r使得下面的等式成立：

a = bq + r， 0 <= r < b

通常我们把q称为商，而把r称为余数。如果r = 0，那么我就说b整除a，并且表示为：b | a.

2. 欧几里得定理

数学中两个重要定理，被称为“欧几里德的第一定理(或欧几里德的引理)”和“欧几里德的第二定理(通常简称为”欧几里德定理“)，内容如下：

第一定理：p|ab => p|a or p|b。该定理的直接结论就是算术基本定理。

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